已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．（1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

答案

（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x²-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x₁＞x₂≥1，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，则x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．

核心考点

试题【已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．（1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=x²-2x-3．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）写出函数y=f（x）的单调区间（不必证明）；
（3）当x∈[-1，2]时，求函数y=f（x）的最大值和最小值．

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已知函数f(x)=

x-1

(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．

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若函数f(x)=

x+3a

x+2

在区间（a，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是______．

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设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等式f（x）+f（x-2）＞1．

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对于函数f(x)=a-

2x+1

(a∈R)：
（Ⅰ）　是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（Ⅱ）　探究函数f（x）的单调性（不用证明），并求出函数f（x）的值域．

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