题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x |
a |
(Ⅰ)判断曲线y=f(x)在x=0的切线能否与曲线y=ex相切?并说明理由;
(Ⅱ)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(Ⅲ)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求证:
x1 |
x2 |
e |
a |
答案
x |
a |
1 |
a |
x |
a |
1 |
a |
∴曲线y=f(x)在x=0的切线l的方程为y=(1-
1 |
a |
若l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0),则
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由a>0,得:0<ex0=1-
1 |
a |
由①得x0=1+
1 | ||
1-
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∴曲线y=f(x)在x=0的切线不能与曲线y=ex相切.
(Ⅱ)令f′(x)=0,得1-
1 |
a |
x |
a |
由f′(x)>0,得x<alna,由f′(x)<0,得:x>alna.
∴f(x)在(-∞,alna]上为增函数,在[alna,+∞)上为减函数.
∴当a>alna,即a<e时,f(x)max=f(a)=a-e.
当a≤alna≤2a,即e≤a≤e2时,f(x)max=f(alna)=alna-a.
当2a<alna,即a>e2时,f(x)max=f(2a)=2a-e2.
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知f(x)max=f(alna)=alna-a.
∵f(x1)=f(x2)=0,∴f(x)max=f(alna)=alna-a>0.
∴lna>1,得:a>e,∴f(a)=a-e>0,且f(alna)>0.
得x2-x1>alna-a,又x1=e
x1 |
a |
x2 |
a |
∴
x1 |
x2 |
1 |
a |
1 |
a |
e |
a |
核心考点
试题【已知f(x)=x-exa (a>0).(Ⅰ)判断曲线y=f(x)在x=0的切线能否与曲线y=ex相切?并说明理由;(Ⅱ)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;(】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
1 |
2 |
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1 |
x0 |
(1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,求f(2n)(n∈N*);
(2)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在区间[1,2n)(n∈N*)上的最大值与最小值;
(3)若f(x)是增函数,且(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,试比较下列各组中两个式子的大小,并说明理由.
①f(2-n)与2-n+2(n∈N*);
②f(x)与2x+2(x∈(0,1]).
|
A.e | B.
| C.
| D.
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