题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x2-2x+2+t |
1 |
2 |
1-t |
x |
(Ⅰ)求证:a2=2b+3;
(Ⅱ)设(x1,M),(x2,N)是函数f(x)=x3+ax2+bx+c的两个极值点.
①若|x1-x2|=
2 |
3 |
②求|M-N|的取值范围.
答案
1+t |
1-t |
由f(1)=0,得c=-a-b-1
∴f(x)=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-(a+b+1)=(x-1)[x2+(a+1)x+(a+b+1)],
故方程x2+(a+1)x+(a+b+1)=0的两根是
1-t |
1+t |
故
1-t |
1+t |
1-t |
1+t |
(
1-t |
1+t |
∴a2=2b+3.(5分)
(Ⅱ)①依题意x1,x2是方程f"(x)=3x2+2ax+b=0的根,
故有x1+x2=-
2a |
3 |
b |
3 |
且△=(2a)2-12b>0,得b<3.
由|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2 |
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
2 |
3 |
由(Ⅰ)知
1-t |
1+t |
∴a=-
7 |
7 |
∴f(x)=x3-
7 |
7 |
②|M-N|=|f(x1)-f(x2)|
=|(x13-x23)+a(x12-x22)+b(x1-x2)|
=|x1-x2|•|(x1+x2)2-x1x2+a(x1+x2)+b|
=
2
| ||
3 |
2a |
3 |
b |
3 |
2a |
3 |
=
4 |
27 |
3 |
2 |
4 |
27 |
9-a2 |
2 |
3 |
2 |
由(Ⅰ)(a+1)2=(
1-t |
1+t |
1-t2 |
∵0<t<1,∴2<(a+1)2<4,
又a<-1,
∴-2<a+1<-
2 |
-3<a<-
2 |
2 |
2 |
∴0<|M-N|<
4 |
27 |
2 |
3 |
2 |
核心考点
试题【已知函数y=|x|+1,y=x2-2x+2+t,y=12(x+1-tx)(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根,其中0<t<1.(Ⅰ)求】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
|
1 |
4 |
ax2+4 |
x |
(1)求a的值
(2)判断函数f(x)的奇偶性
(3)若x∈(0,+∞),求函数f(x)的最小值,并求出相应的x的值.
AE |
EB |
CF |
FD |
A.f(λ)在(0,+∞)单调增加 |
B.f(λ)在(0,+∞)单调减少 |
C.f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 |
D.f(λ)在(0,+∞)为常数 |
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