题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）上在（0，+∞）为单调增函数．
（1）判别f（x）在（-∞，0]上的单调性并加以证明；
（2）若f（1）＜f（log₃（x-2）），求x的取值范围．

答案

（1）f（x）在（-∞，0]上为单调减函数，理由如下：
任取区间（-∞，0]上两个数a，b，且a＜b≤0
则0≤-b＜-a
∵函数f（x）上在（0，+∞）为单调增函数
∴f（-b）＜f（-a）
又∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数
∴f（-b）=f（b），f（-a）=f（a）
故f（b）＜f（a）
即f（x）在（-∞，0]上为单调减函数
（2）由（1）中结论
f（1）＜f（log₃（x-2））可化为：
log₃（x-2）＞1，或log₃（x-2）＜-1
即x-2＞3或0＜x-2＜

1

3

解得：x＞5或2＜x＜

7

3

故x的取值范围为：x＞5或2＜x＜

7

3

．