题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=4x+

a

x

（a＞0，a∈R），
（1）判断并证明f（x）在（0，

a

2

）上的单调性；
（2）讨论函数g（x）=4x+

a

x

-1（a＞0）在（0，+∞）上的零点的个数．

答案

（1）f（x）在(0，

a

2

)上单调递减
证：任取x1，x2∈(0，

a

2

)，设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=4x1+

a

x1

-4x2-

a

x2

=4(x1-x2)+a•

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(4-

a

x1x2

)
∵x1＜

a

2

，x2＜

a

2

∴x1x2＜ a 4

，
∴

a

x1x2

＞4.
所以f（x）为减函数．
（2）由（1）得g(x)在(0，

a

2

)上单调递减，同理可得，g(x)在[

a

2

，+∞]上单调递增．
故g（x）的最小值为g(

a

2

)=4

a

-1，
∴当4

a

-1＞0，即a＞

1

16

时，无零点；
当a=

1

16

时，有1个零点； 
当0＜a＜

1

16

时，有2个零点．