题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

答案

证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），
得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=f（0）．
又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂-x₁）]=-f（x₂-x₁）．
由x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＜0．
∴-f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
从而f（x）在R上是减函数．
（3）由于f（x）在R上是减函数，
故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），
最小值为f（3）．由f（1）=-2，
得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）
=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）
=3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴最大值为6，最小值为-6．