题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，在x=t处取得最值，若y=g（x）为一次函数，且f（x）+g（x）=x²+2x-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，2]时，f（x）≥-1恒成立，求t的取值范围．

答案

（1）设f（x）=a（x-t）²+b，
∵f（1）=2，∴a（1-t）²+b=2．
又f（x）+g（x）=x²+2x-3，g（x）为一次函数，
∴a=1，则b=2-（1-t）²，
∴f（x）=（x-t）²+2-（1-t）²=（x-t）²-t²+2t+1．
（2）①若t＜-1时，
要使f（x）≥-1恒成立，只需f（-1）≥-1，
即t≥-

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，这与t＜-1矛盾；
②-1≤t≤2时，要使f（x）≥-1恒成立，
只需f（t）≥-1，即-t²+2t+1≥-1，
即1-

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≤t≤1+

3

，∴1-

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≤t≤2；
③若t＞2时，要使f（x）≥-1恒成立，
只需f（2）≥-1，即t≤3，∴2＜t≤3，
综上所述t的取值范围是[1-

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，3]．