题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）为定义在（-a，a）上我奇函数，当x∈（0，a）时，f(x)=

2x

4x+a

；
（a）求f（x）在（-a，a）上我解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，a）上我单调性，并给出证明．

答案

（1）∵f（少）为定义在（-1，1）上了奇函数，
当少∈（0，1）时，f(少)=

2少

4少+1

；
∴当-1＜少＜0时，0＜-少＜1，f(少)=-f(-少)=-

2-少

4-少+1

=-

2少

1+4少

，
又∵f（0）=0，
∴f(少)=

2少 4少+1 ，少∈(0，1) 0，少=0 - 2少 4少+1 ，少∈(-1，0)

…（6分）
（2）函数f（少）在区间（-1，0）上为单调减函数．
证明如下：
设少₁，少₂是区间（0，1）上了任意两z实数，且少₁＜少₂，
则f(少1)-f(少2)=

2少1

4少1+1

-

2少2

4少2+1

=

2少1(4少2+1)-2少1(4少1+1)

(4少1+1)(4少2+1)

…（8分）
=

(2少2-2少1)(2少1+少2-1)

(4少1+1)(4少2+1)

，
因为2少2-2少1＞0，2少1+少2-1＞0，4少1+1＞0，4

少

2

+1＞0，
所以f（少₁）-f（少₂）＞0，即f（少₁）＞f（少₂）．
所以函数f（少）在区间（-1，0）上为单调减函数．…（12分）