题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

己知向量a=(2sin

x

2

，1-

2

cos

x

2

)，b=(cos

x

2

，1+

2

cos

x

2

)，函数f(x)=log

1

2

（a•b）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

答案

（Ⅰ）∵

a

•

b

=2sin

x

2

cos

x

2

+(1-

2

cos

x

2

)(1+

2

cos

x

2

)=sinx+1-2cos2

x

2

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．
由sin(x-

π

4

)＞0，
得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z．
∴f（x）的定义域是(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
∵0＜

2

sin(x-

π

4

)≤

2

，则f(x)≥log

1

2

2

=-

1

2

，
∴f（x）的值域是[-

1

2

，+∞)．
（Ⅱ）由题设f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
若f（x）为增函数，则y=

2

sin(x-

π

4

)为减函数，
∴2kπ+

π

2

≤x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

3π

4

≤x＜2kπ+

5π

4

，
∴f（x）的递增区间是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

)，k∈Z．
若f（x）为减函数，则y=

2

sin(x-

π

4

)为增函数，
∴2kπ＜x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即2kπ+

π

4

＜x≤2kπ+

3π

4

，
∴f（x）的递减区间是(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．