题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=logm

1+x

1-x

(其中m＞0，m≠1)，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）具有性质：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
（3）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．

答案

（1）由题意知，

1+x

1-x

＞0，∴-1＜x＜1，定义域关于原点对称，
f（-x）=

log

1-x 1+x m

=-

log

1+x 1-x m

=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）∵f（x）+f（y）=

log

1+x 1-x m

+

log

1+y 1-y m

=

log	(1+x)(1+y) (1-x)(1-y) m

，
f（

x+y

1+xy

）=

log	1+ x+y 1+xy 1- x+y 1+xy m

=

log	1+xy+x+y 1+xy-x-y m

=

log	(1+x)(1+y) (1-x)(1-y) m

，
∴f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（3）∵f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，∴f（a）+f（b）=1，
f（a）-f（b）=3，∴f（a）=2，f（b）=-1．