题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）已知函数f(x)=x+

4

x

，(x≠0)请判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性．
（2）求值：(lg2)2+

4

3

log1008+lg5•lg20+lg25+

3	82

+0.027-

2

3

×(-

1

3

)-2．

答案

（1）函数f(x)=x+

4

x

，(x≠0)在（2，+∞）上是增函数，
证明如下：设x₁＞x₂＞2，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-（x₂+

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-4 )

x1x2

∵x₁＞x₂＞2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f(x)=x+

4

x

，(x≠0)在（2，+∞）上是增函数．
（2）原式=(lg2)2+2lg 2+lg5•(lg2+1)+2lg5+4+0.3-

2

3

×3 ×9
=（lg2）²+2lg2+lg5•lg2+lg5+2lg5+104
=（lg2）²+lg5•lg2+lg5+106=107．