题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=ax+

1

x

(a＞0)
（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；
（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）任意取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
0＜x₁x₂＜1，所以x₁x₂-1＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（ 0，1]上是单调减函数．
（2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+

1

x

= 

ax2+1

x

≥1恒成立，
等价于当x∈（0，+∞）时ax²-x+1≥0恒成立即可，
∴a≥

x-1

x2

在x∈（0，+∞）恒成立 又

1

x

∈（0，+∞），
令g（x）=

x-1

x2

=-（

1

x

）²+

1

x

=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

∴a≥

1

4

故a的取值范围[

1

4

，+∞）．