题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x2+x+4 x (x＞0) - x2-x+4 x (x＜0)

，
（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

答案

（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称．
当x＞0时，-x＜0，
则f(x)=

x2+x+4

x

，f(-x)=

(-x2)-(-x)+4

(-x)

=

x2+x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，
则f(x)=-

x2-x+4

x

，f(-x)=

(-x2)+(-x)+4

(-x)

=-

x2-x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
设x₂＞x₁＞0，则f(x2)-f(x1)=

x2-x1

x1•x2

(x1•x2-4)
当x₂＞x₁≥2时，f（x₂）-f（x₁）＞0；当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（另证：当x＞0，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，f′(x)=1-

4

x2

；
∵0＜x≤2⇒0＜x2≤4⇔

4

x2

≥1⇔1-

4

x2

≤0
x≥2⇔x2≥4⇔0＜

4

x2

≤1⇔1-

4

x2

≥0
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．