题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=f（x）对任意的实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞0时，f（x）＜0
（1）求f（0）； 
（2）判断函数y=f（x）的单调性，并给出证明．
（3）如果f（x）+f（2-3x）＜0，求x的取值范围．

答案

（1）解令x₂=0，由f（x₁+0）=f（x₁）+f（0）
即：f（x₁）=f（x₁）+f（0），解之得f（0）=0---------------（3分）
（2）函数y=f（x）在区间 （-∞，+∞）是减函数
证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0．
∴由当x＞0时f（x）＜0，得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0
可得f（x₁）＞f（x₂）
∴函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数---------------（9分）
（3）∵f（0）=0且f（x）+f（2-3x）=f[x+（2-3x）]=f（2-2x），
∴不等式f（x）+f（2-3x）＜0转化为f（2-2x）＜f（0），
又∵f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数
∴2-2x＞0，解之得x＜1，即x的取值范围为（-∞，1）---------------（12分）