题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,则有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
(1)试求f(0)的值;
(2)试求函数f(x)的最大值;
(3)试证明:当x∈(
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2n |
1 |
2n-1 |
答案
又由条件(1)得f(0)≥0故f(0)=0(3分)
(2)任取0≤x1<x2≤1可知x2-x1∈(0,1],则
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1)
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1因此当x=1时,f(x)取最大值1.(8分)
(3)证明:先用数学归纳法证明:当x∈(
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2n-1 |
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2n-1 |
10当n=1时,x∈(
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2 |
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20 |
当n=2时,x∈(
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4 |
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1 |
2 |
∴f(x)≤
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2 |
1 |
2 |
20假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,不等式成立,即x∈(
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2k |
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2k-1 |
1 |
2k-1 |
则当n=k+1时,x∈(
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2k+1 |
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2k |
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2k |
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2k-1 |
1 |
2k-1 |
而f(t)=f(2x)≥2f(x),∴f(x)≤
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2 |
1 |
2 |
1 |
2(k+1)-1 |
因此当n=k+1时不等式也成立.
由10,20知,当x∈(
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2n |
1 |
2n-1 |
1 |
2n-1 |
又当x∈(
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2n |
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2n-1 |
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综上所述:当x∈(
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2n |
1 |
2n-1 |
核心考点
试题【已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,则有】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
log2x-1 |
log2x+1 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
A.f(
| B.f(3)<f(
| C.f(3)<f(
| D.f(
|
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A.(0,
| B.(0,1) | C.[
| D.(0,3) |
A.[-1,+∞] | B.(-∞,2] | C.(-∞,-1),(-1,2) | D.[2,+∞) |
|
A.-3≤a<0 | B.-3≤a≤-2 | C.a≤-2 | D.a<0 |
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