题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，

π

2

]时，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]+f（3+2m）＞0对所有θ恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0，
f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）令x₁=x₂=0有f（0）=0
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（3）假设存在实数m，由条件得f[cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）⇒cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθt∈[0，1]有-t²-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t²-（2+m）t+4+2m则有

g(0)＞0 g(1)＞0

⇒m＞-1