题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）是R上的一个偶函数，g（x）是R上的一个奇函数，且满足f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的解析式；（2）设f( 1 )=

5

4

，求a与f（2）的值；（3）设f（x₀）=m，f（2x₀）=m，求x₀与m的值．

答案

（满分12分）
（1）由题设知f（x）=g（x）+a^x（a＞0，a≠1，x∈R）…①
以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x
又f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）所以f（x）=-g（x）+a^-x…②
由①+②得f(x)=

ax+a-x

2

（a＞0，a≠1，x∈R）；…（4分）
（2）由f(1)=

a+a-1

2

=

5

4

⇒a=2或a=

1

2

⇒f(2)=

a2+a-2

2

=

17

8

；…（8分）
（3）由f（x₀）=f（2x₀）⇒ax0+a-x0=a2x0+a-2x0=(ax0+a-x0)2-2，
所以ax0+a-x0=2⇒x₀=0；m=f（x₀）=f（0）=1…（12分）