题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)当b=0时,若对∀x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x1,f (x1))和(x2,g(x2)),其中x1>0.
①求证:x1>1>x2;
②若当x≥x1时,关于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
即对任意∀x∈(0,+∞)均有
ex |
x |
lnx |
x |
∴(
ex |
x |
lnx |
x |
因为(
ex |
x |
ex(x-1) |
x2 |
ex |
x |
∴(
ex |
x |
又(
lnx |
x |
1-lnx |
x2 |
lnx |
x |
∴(
lnx |
x |
1 |
e |
1 |
e |
(2)由题知:h(x)即为y-e x1=e x1(x-x1)即y=e x1•x+e x1-x1 e x1
也为y=lnx2=
1 |
x2 |
1 |
x2 |
∴
|
又x1=0,∴e x1>1 即
1 |
x2 |
即x1>1>x2…(8分)
(3)令F(x)=ax2-x+xe-x+1(x≥x1)
∴F′(x)=-1-xe-x+e-x=-1+e-x(1-x)( x≥x1)
又x≥x1>1,F′(x)=-1-xe-x+e-x=-1+e-x(1-x)<0
即F(x)=ax2-x+xe-x+1(x≥x1)单调减,
所以只要F(x)≤F(x1)=ax2-x1+x1e -x1+1≤0
即a+x1-x1e x1+e x1≤0…(12分)
由
|
∴
|
即x1-x1ex1+ex1=-1
故只要a+x1-x1ex1+ex1=a-1≤0得:
a≤1
综上,实数a的取值范围是(-∞,1]…(14分)
核心考点
试题【已知函数f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.(1)当b=0时,若对∀x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)a的取值范围;
(2)记(1)中a的取值范围为集合A,函数g(x)=log2(tx2+2x-2)的定义域为集合B.若A∩B≠∅,求实数t的取值范围.
5 |
2 |
17 |
4 |
(1)求a、b;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)试判断函数在(-∞,0]上的单调性,并证明.
π |
3 |
π |
12 |
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