题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=x+

a

x

旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，

a

]上单调递减，在[

a

，+∞）上单调递增．
（1）如果函数f（x）=x+

2b

x

在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
（2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+

a

x

在x∈[l，2]的最大值．

答案

（1）由性质知，函数在（0，

2b

]上是单调递减，在[

2b

，+∞）上单调递增，
∴

2b

=4，解得b=4．
（2）由性质知，函数在（0，

a

]上单调递减，在[

a

，+∞）上单调递增，
∵a∈[1，4]，∴函数y=x+

a

x

在x∈[l，2]的最大值只能在端点处取得，
当x=1时，y=1+a，当x=2时，y=2+

a

2

，
令1+a≤2+

a

2

，得a≤2，
∴y_max=

2+ a 2 ，(1≤a≤2) 1+a，(2＜a≤4)

．