题目

题型：解答题难度：一般来源：广州模拟

设a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x₀≥1，f（x₀）≥1，且f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

答案

（1）f′（x）=3x²-a
若f（x）在[1，+∞）上是单调递减函数，
则须y′≤0，即α≥3x²恒成立，
这样的实数a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是单调递减函数；
若f（x）在[1，+∞）]上是单调递增函数，则a≤3x²恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x²≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，则a的取值范围是0＜a≤3；
（2）（反证法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能为单调递增函数．
假设f（x₀）≠x₀，若1≤x₀＜f（x₀），则f（x₀）＜f（f（x₀））=x₀，矛盾； …（8分）
若1≤f（x₀）＜x₀，则f（f（x₀））＜f（x₀），即x₀＜f（x₀），矛盾，…（10分）
故只有f（x₀）=x₀成立．