题目

题型：填空题难度：一般来源：江门模拟

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=

5 6

36

，则(a2+b2+c2)(

1

sin2A

+

1

sin2B

+

1

sin2C

)的最小值为 ______．

答案

由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

∴(a2+b2+c2)(

1

sin2A

+

1

sin2B

+

1

sin2C

)
=4R²（a²+b²+c²）（

1

a2

+

1

b2

 +

1

c2

）
=4R²（3+

a2

b2

+

b2

a2

+

a2

c2

+

c2

a2

+

c2

b2

+

b2

c2

）≥4R²（3+2+2+2）=

25

6

（当且仅当a=b=c时等号成立）．
故答案为：

25

6