题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(1)+f(-1)的值;
(2)若f(x)为R上的增函数,证明:存在唯一的实数,使得对任意x∈(0,1),都有f(x2+2t2x)<3成立.
答案
∴f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)+f(1)-2]+f(1)-2=3f(1)-4=5
解得f(1)=3.
∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=f(2)+3-2=5,
∴f(2)=4.
∵f(2)=f[3+(-1)]=f(3)+f(-1)-2=5+f(-1)-2=4.
∴f(-1)=1.
∴f(1)+f(-1)=4.
(2)证明:∵f(x)为R上的增函数,且对任意x∈(0,1),都有f(x2+2t2x)<3=f(1),
∴对任意x∈(0,1),都有x2+2t2x<1,
设y=x2+2t2x,
则y′=2x+2t2,
∵x∈(0,1),∴y′=2x+2t2>0,
∴y=x2+2t2x在(0,1)内是增函数,
∴y=x2+2t2x的值域为(0,1+2t2),
∵对任意x∈(0,1),都有x2+2t2x<1,
∴1+2t2≤1,解得t=0.
∴存在唯一的实数t=0,使得对任意x∈(0,1),都有f(x2+2t2x)<3成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且f(3)=5,(1)求f(1)+f(-1)的值;(2)若f(x)为R上的增函数】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
A.[
| B.(-∞,
| C.[
| D.(-∞,-
|
A.0 | B.-5 | C.-10 | D.-15 |
π |
6 |
π |
6 |
A.3 | B.2 | C.1 | D.0 |
x |
5 |
1 |
2 |
2011 |
2012 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
A.y=lnx | B.y=x2 | C.y=cosx | D.y=2-|x| |
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