题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=
f(x1)•f(x2)+1 |
f(x2)-f(x1) |
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
(1)试证明函数f(x)是奇函数.
(2)试证明f(x)在(0,4a)上是增函数.
答案
有f(x1-x2)=
f(x1)•f(x2)+1 |
f(x2)-f(x1) |
且x1-x2,-(x1-x2)在定义域中,
∴f[-(x1-x2)]=f(x2-x1)=
f(x1)•f(x2)+1 |
f(x1)-f(x2) |
f(x1)•f(x2)+1 |
f(x2)-f(x1) |
∴f[-(x1-x2)]=-f(x1-x2)
⇒f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数.
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,
∵在(0,2a)上,f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,
进而知f(x2-x1)=
f(x1)•f(x2)+1 |
f(x1)-f(x2) |
于是f(x1)<f(x2),
∴在(0,2a)上,f(x)是增函数.
又f(a)=f(2a-a)=
f(2a )•f(a)+1 |
f(a )-f(2a) |
∵f(a)=-1,∴-1=
f(2a )•f(a)+1 |
f(a )-f(2a) |
∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
f(x-2a)=
f(x )•f(2a)+1 |
f(2a )-f(x) |
1 |
-f(x) |
即在(2a,4a)上,f(x)>0.
设2a<x1<x2<4a,则0<x2-x1<2a,
从而知f(x1),f(x2)均大于零,f(x2-x1)<0,
∵f(x2-x1)=
f(x1)•f(x2)+1 |
f(x1)-f(x2) |
∴f(x1)-f(x2)<0,即
f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数.
综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数.
核心考点
试题【己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:①当x1,x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1);②】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2-6x+12 |
x-2 |
A.[2,3] | B.[2,5] | C.[
| D.[
|
(1)g(0)=0;
(2)g(
x |
3 |
1 |
2 |
(3)g(1-x)=1-g(x),
则g(1)=______、g(
5 |
12 |
A.f(x)=ax+b | B.f(x)=x2-2ax+1 |
C.f(x)=ax | D.f(x)=logax |
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.4个 |
|
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