题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求的值 ;
(2)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
(3)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为 [a,b]时,值域为 [ma,mb],(m≠0),求m的取值范围.
答案
(2)不存在满足条件的实数a,b.
(3)
解析
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在上是增函数.
由0<a<b,且f(a)=f(b),可得 0<a1<b和.即.
……………………3分
(2)不存在满足条件的实数a,b.
若存在满足条件的实数a,b,使得函数y=的定义域、值域都是[a,b],
则a>0. 而
①当时,在(0,1)上为减函数.
故 即 解得 a=b.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
②当时,在上是增函数.
故 即
此时a,b是方程的根,此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
③当,时,由于,而,
故此时不存在适合条件的实数a,b.
综上可知,不存在适合条件的实数a,b. …………………………8分
(3)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb].
则a>0,m>0.
① 当时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,故.此时得a=b,不符合题意,所以a,b不存在.
② 当,时,由(2)知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.
故只有.
∵在上是增函数,
∴ 即 所以a、b是方程的两个根.
即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根.
设这两个根为、,则+=,·=.
∴ 即 解得 .
故m的取值范围是. ……………………………14分
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
设函数的定义域为R,当x<0时,>1,且对任意的实数x,y∈R,有.
(1)求,判断并证明函数的单调性;
(2)数列满足,且,
①求通项公式;
②当时,不等式对不小于2的正整数
恒成立,求x的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(1)函数图像关于轴对称;
(2)当时,是增函数,时,是减函数;
(3)函数的最小值是;
(4)当或时,是增函数。
其中正确命题的序号有 ***
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