题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数
(1)若是定义域上的单调函数,求的取值范围;
(2)若在定义域上有两个极值点、,证明:
答案
解析
试题分析:(1)因为
所以.
法一:若在(0,+∞)单调递增,则在(0,+∞)上恒成立,
,
由于开口向上,所以上式不恒成立,矛盾。
若在(0,+∞)单调递减,则在(0,+∞)上恒成立,
由于开口向上,对称轴为,
故只须解得。
综上,的取值范围是[,+∞).
法二:令.当时,,在 (0,+∞)单调递减.
当时,,方程有两个不相等的正根,
不妨设,
则当时,,
当时,,这时不是单调函数.
综上,的取值范围是[,+∞).
(2)由(1)知,当且仅当∈(0,)时,有极小值点和极大值点,
且=,=.
令,
则当时,=-=<0,在(0,)单调递减,
所以即.
点评:导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具,研究函数的性质时要注意函数的定义域.
核心考点
举一反三
(1)求函数的最小正周期.
(2)当时,求函数的单调减区间.
(1)求函数在上的单调区间,并说明理由.
(2)若曲线在处的切线斜率为-4,且方程有两个不相等的负实根,求实数的取值范围.
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