题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）（2）a＞－3

解析

(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
设x₁＞x₂≥1，则f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋＝(x₁－x₂)·.
∵x₁＞x₂≥1，∴f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)≥f(1)＝，即f(x)的最小值为.
(2)∵f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，
即x²＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a＞[－(x²＋2x)]_max.
∵t(x)＝－(x²＋2x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴t(x)_max＝t(1)＝－3,∴a＞－3.