题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为,过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点,椭圆的离心率为,．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不同两点，轴，圆过点，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的内切圆．问椭圆是否存在过点的内切圆？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）；（2）存在

解析

试题分析：（1）由离心率为，倾斜角为的直线交椭圆于两点，.通过联立直线方程与椭圆的方程，可求得的值.即可得结论.
（2）依题意可得符合要求的圆E，即为过点, 的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到点距离的最小值是，结合图形可得圆心E在线段上，半径最小.又由于点F已知，即可求得结论.
试题解析：（1）因为离心率为，所以，
所以椭圆方程可化为：，直线的方程为，      2分
由方程组，得：,即, 4分
设，则，               5分
又，
所以，所以，椭圆方程是；      7分
（2）由椭圆的对称性，可以设，点在轴上，设点，
则圆的方程为，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是，
设点是椭圆上任意一点，则, 9分
当时，最小，所以①              10分
又圆过点，所以②              11分
点在椭圆上，所以③                     12分
由①②③解得：或，
又时，，不合，
综上：椭圆存在符合条件的内切圆，点的坐标是．        13分