题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x2+a |
bx-c |
1 |
2 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f(
1 |
an |
(3)如果数列{an}满足an=f(an),求证:当n≥2时,恒有an<3成立.
答案
x2+a |
bx-c |
|
解得
|
x2 | ||
(1+
|
-2 |
1+c |
1 |
2 |
得c<3,又c∈N,b∈N,若c=0,b=1,则f(x)=x不止有两个不动点,∴c=2,b=2,于是f(x)=
x2 |
2(x-1) |
(2)由题设,知4Sn•
(
| ||
2(
|
且an≠1,以n-1代n得:2Sn-1=an-1-an-12,②;
由①-②得:2an=(an-an-1)-(an2-an-12),即(an+an-1)(an-an-1+1)=0,
∴an=-an-1或an-an-1=-1,以n=1代入①得:2a1=a1-a12,
解得a1=0(舍去)或a1=-1;由a1=-1,若an=-an-1得a2=1,这与an≠1矛盾,
∴an-an-1=-1,即{an}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴an=-n;
(3)证法(一):运用反证法,假设an>3(n≥2),则由(1)知an+1=f(an)=
| ||
2an-2 |
∴
an+1 |
an |
an |
2(an-1) |
1 |
2 |
1 |
an-1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
∴an<an-1<…<a2,而当n=2时,a2=
| ||
2a1-2 |
16 |
8-2 |
8 |
3 |
|
这与假设矛盾,故假设不成立,∴an<3.
证法(二):由an+1=f(an)得an+1=
| ||
2an-2 |
1 |
an+1 |
1 |
an |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
得an+1<0或an+1≥2,若an+1<0,则an+1<0<3,结论成立;
若an+1≥2,此时n≥2,从而an+1-an=
-an(an-2) |
2(an-1) |
即数列{an}在n≥2时单调递减,由a2=2
2 |
3 |
2 |
3 |
核心考点
试题【对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.如果函数f(x)=x2+abx-c(b,c∈N)有且只有两个不动点0,2,】;主要考察你对求函数解析式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求c的值,并求出b和d的取值范围;
(Ⅱ)求证f(1)≥2;
(Ⅲ)求|β-α|的取值范围,并写出当|β-α|取最小值时的f(x)的解析式.
1 |
x+b |
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,求其对称中心的坐标;
(3)设直线l是过曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线,求直线l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积.
①函数在(-∞,-1)上为减函数;②函数具有奇偶性;③函数有最小值;
这样的函数可以为(只写一个):______.
1 |
8 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=(
4 |
5 |
(3)在(2)的条件下,求数列{nan}的前n项的和.
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