题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；函数f（x）的图象过点P（3，-6）；函数f（x）在点x₁，x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4．
（1）求f（x）表达式；
（2）求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（3）求证：∀α、β∈R，-

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3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

答案

（1）f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称，即f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴d=0，b=0，
又函数f（x）的图象过点P（3，-6），∴9a+c=-2，
f（x）=ax³+bx²+cx=0两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4，
∴

4b2-12ac＞0 x1+x2=- 2b 3a x1x2= c 3a

⇒

ac＜0 x1x2=0 x1x2= c 3a =-4

又|x₁-x₂|²=

4b2

9a2

-

4c

3a

=16，c=-12a
∴a=

2

3

，b=0，c=-8，d=0，
∴f（x）=

2

3

x3-8x；
（2）f′（x）=2x²-8，f′（3）=18，
∴切线方程为：10x-y-36=0；
（3）当-2≤x≤2时，f′（x）=2x²-8≤0，∴f（x）在[-2，2]上递减，
又∀α∈R，-2≤2cosα≤2，∴-

32

3

≤f(2)≤f(2cosα)≤f(-2)=

32

3

，
同理，-

32

3

≤f(2)≤f(2sinβ)≤f(-2)=

32

3

，
∴∀α、β∈R，-

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3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

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3

．