题目

题型：解答题难度：困难来源：江苏模拟题

如图所示的自动通风设施，其下部ABCD是等腰梯形，其中高为0.5米，AB=1米，CD=2a(a＞)米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点，△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆，
(Ⅰ)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风研积S（平方米）表示成x的函数S=f(x)；
(Ⅱ)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积。

答案

解：(Ⅰ)①时，由平面几何知识，得，
∴MN=2(2a-1)x+1，
S=f(x)=-(2a-1)x²+(a-1)x+。
②＜x＜a+时，
，
∴。
(Ⅱ)①时，，
∵，
∴，∴，
若，当x=0时，，
若a＞1，当时，；
②时，


等号成立
，
∴当时，。
A.时，
∵，
∴时，当，
时，当；
B.a＞1时，，
当时，；
综上，时，当，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米；
时，当时，，即MN与AB之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米。