题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省模拟题

对定义域分别是F，G的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数
已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）。
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）因为函数f（x）=x²的定义域F=（-∞，+∞），
函数g（x）=alnx的定义域G=（0，+∞），
所以；
（2）当x≤0时，函数h（x）=x²单调递减，
所以函数h（x）在（-∞，0]上的最小值为h（0）=0
当x>0时，h（x）=x²+alnx
若a=0，函数h（x）=x²在（0，+∞）上单调递增，此时，函数h（x）不存在最小值
若a>0，因为h"（x）=
所以函数h（x）=x²+alnx在（0，+∞）上单调递增，
此时，函数h（x）不存在最小值，
若a＜0，因为h"（x）=
所以函数h（x）=x²+alnx在上单调递减，在上单调递增
此时，函数h（x）的最小值为
因为
 
所以当-2e≤a＜0时，
当a＜-2e时，
综上可知，当a>0时，函数h（x）没有最小值；
当-2e≤a≤0时，函数h（x）的最小值为h（0）=0；
当a＜-2e时，函数h（x）的最小值为
。