题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省月考题

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（1）求证：f（0）=0
（2）证明：f（x）是偶函数．并求f（x）的表达式
（3）若f（x）=alnx有两个不同实数解，求a的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0） ∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）
∴f（1）=f（1）2，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²， ∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（﹣x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=alnx有两个不同实数解，
∴令h（x）=f（x）﹣alnx=x²﹣xlnx，
∴h"（x）=2x﹣，令h"（x）=0，解得x=±，
当﹣＜x＜时，h"（x）＜0，f（x）单调减函数；
当x≥或x≤﹣时，h"（x）＞0，f（x）单调增函数；
如下图：要求h（x）与x轴有两个交点，可得h（﹣）=0，
∴a=