题目

题型：解答题难度：一般来源：许昌模拟

函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（4）=7，解不等式f（x²+x）＜4．

答案

（1）由f（0+0）=f（0）+f（0）-1，得f（0）=1（3分）
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₂＜x₁（4分）
由题意，有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1（6分）
∵x₂-x₁＜0
∴f（x₂-x₁）＜1（7分）
∴f（x₂）＜f（x₁）（8分）
∴f（x）在R上为增函数（9分）
（3）∵f（2+2）=f（2）+f（2）-1
∴f（2）=4（10分）
又∵f（x）在R上递增
∴x²+x＜2（11分）
∴不等式解集为{x|-2＜x＜1}（12分）