题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)若t为正整数,求f(t)的解析式(已知公式:12+22+32+…+n2=
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(2)求满足f(t)=t的所有正整数t;
(3)若t为正整数,且t≥4时,f(t)≥mt2+(4m+1)+3m恒成立,求实数m的最大值.
答案
对于x,y∈R都成立
令x=t(t∈N*),y=1f(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+3)+3⇒f(t+1)-f(t)=3t2+9t+4⇒f(2)-f(1)=3×12+9×1+4f(3)-f(2)=3×22+9×2+4
…f(t)=f(t-1)=3(t-1)2+9×(t-1)+4
用叠加法 f(t)-f(1)=3[12+22+…+(t-1)2]+9[1+2+…+(t-1)]+4+4•k…+4=3•
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∴f(t)=t3+3t2-3(t≥2)又t=1适合上式f(t)=t3+3t2-3(t≥2)(t∈N*)
(2)若t∈N*,则t3+3t2-3=t⇒t3-t+3(t2+1)=0⇒(t-1)(t+1)(t+3)=0⇒t1=1,t2=-1,t3=-3(舍)
又令x=y=0f(0)=-3
令y=-x-3=f(x)+f(-x)+(-6x2)+3⇒f(x)+f(-x)=6x2-6对x∈R都成立
若t为负整数,则f(t)=6t2-6-f(-t)=6t2-6+t3-3t2+3=t3+3t2-3
由t3+3t2-3=t(t+3)(t+1)(t-1)⇒t1=-3,t2=-1,t3=1(舍)
若t=0,则f(t)═t无解 综上,满足f(t)=t,所有整数t为1,-1,-3;
(3)要使不等式恒成立,则只需m≤
t3+3t2-t-3 |
t2+4t+3 |
即m≤
(t+3)(t+1)(t-1) |
(t+3)(t+1) |
即且m≤(t-1)min=3
实数m最大值为3
核心考点
试题【已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+k(x+y)+3,k为常数,且f(1)=1,f(2)=17.(1)若】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(I)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;
(II)定义数列{an}:an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求证:{an}为等比数列;
(III)若对于任意非零实数y,总有f(y)>2.设有理数x1,x2满足|x1|<|x2|,判断f(x1)和f(x2)的大小关系,并证明你的结论.
(1)求f(0)的值;
(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论;
(3)若f(1)≥1,求证:f(
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(Ⅰ)当a=2时,试确定函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任何x∈R,且x≠0,都有f(x)>x-1,求a的取值范围.
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