题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为______．

答案

∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0；令y=-x，
f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为R上的奇函数；
∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴当-3≤x₁＜x₂≤3时，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-3，3]上是增函数，
又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6，
又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，
∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．