题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（3）=3f（1）；
（3）f(

1

2

)=

1

2

f(1)．

答案

（1）∵对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）∴当x=y=0时，有f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
（2）同（1），∵f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）∴f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）
（3）同（1），取x=y=

1

2

，有f(1)=f(

1

2

)+f(

1

2

)∴f(

1

2

)=

1

2

f(1)