题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)求f(0)的值,并证明当x<0时,有0<f(x)<1成立;
(Ⅱ)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若f(1)=2,数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),记Sn=
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
1-m |
答案
由题意得f(1)>1,所以f(0)=1.
若x<0,则f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,
∴f(x)=
1 |
f(-x) |
由已知f(-x)>1,得0<f(x)<1.
(Ⅱ)任取x1,x2∈R且设x1>x2,
由已知和(Ⅰ)得f(x)>0(x∈R),
∴
f(x1) |
f(x2) |
f(x1-x2+x2) |
f(x2) |
∴f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在R上是增函数.
(Ⅲ)
an |
an-1 |
f(n) |
f(n-1) |
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴an=2n.Sn=
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
| ||||
1-
|
1 |
2 |
又对一切正整数n,有f(
1-m |
即f(
1-m |
又f(1)=2,∴f(
1-m |
又由(Ⅱ)得
1-m |
解得m的取值范围是m≤0.
核心考点
试题【已知定义在R上的函数f(x),对任意的实数m、n,都有f(m+n)=f(m)f(n)成立,且当x>0时,有f(x)>1成立.(Ⅰ)求f(0)的值,并证明当x<0】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅱ)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
A.f(x)-1是奇函数 | B.f(x)+1是奇函数 |
C.f(x)-2012是奇函数 | D.f(x)+2012是奇函数 |
|
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
A.1 | B.-1 | C.2012 | D.-2012 |
A.1 | B.0 | C.0或1 | D.不确定 |
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