题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y）对一切的实数x，y都成立，并且当x＞0时f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性； 
（2）记g（x）=f²（x），求使g（3x-1）＜g（2x-9）成立的x的取值范围．

答案

（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），故f（0）=0．又令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），故f（-x）=-f（x），从而f（x）是奇函数；
（2）法一：因f（x）是奇函数，且当x＞0时f（x）＞0，故当x＜0时f（x）=-f（-x）＜0．又因为f（0）=0，所以x＞0⇔f（x）＞0，x＜0⇔f（x）＜0．由题得f²（3x-1）＜f²（2x-9）⇔[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0⇔f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0⇔

f(5x-10)＞0 f(x+8)＜0

或

f(5x-10)＜0 f(x+8)＞0

⇔

5x-10＞0 x+8＜0

或

5x-10＜0 x+8＞0

，解得-8＜x＜2．
法二：因f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数，得g（x）=g（|x|），故g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函数．又当x＞0时f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函数．所以|3x-1|＜|2x-9|，平方可得（3x-1）²＜（2x-9）²⇔（x+8）（5x-10）＜0⇔-8＜x＜2．
法三：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函数．又当x＞0时f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函数．因f（x）是奇函数，故g（x）是偶函数． 
（1）当

3x-1≥0 2x-9≥0

即x≥

9

2

时，有3x-1＜2x-9，解得x＜-8； 
（2）当

3x-1＜0 2x-9＜0

即x＜

1

3

时，有g（1-3x）＜g（9-2x），故1-3x＜9-2x，即x＞-8； 
（3）当

3x-1≥0 2x-9＜0

即

1

3

≤x＜

9

2

时，有g（3x-1）＜g（9-2x），故3x-1＜9-2x，解得x＜2； 
（4）当

3x-1＜0 2x-9≥0

时，x∈Φ．综上可知-8＜x＜2．