题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
答案
解析
(1)证明:令a=b=0,则f(0)=f 2(0).
又f(0)≠0,∴f(0)=1.
(2)证明:当x<0时,-x>0,
∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.
∴f(-x)=>0.又x≥0时f(x)≥1>0,
∴x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)证明:设x1<x2,则x2-x1>0.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.
(4)解:由f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).又f(x)是R上的增函数,
∴3x-x2>0.∴0<x<3.
核心考点
试题【定义在R上的函数,,当x>0时,,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)若,求;又若,求;
(II)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式
试讨论函数的单调性.
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