题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.
求证:.

答案

证明略

解析

对f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,
再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),
∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.
设－1＜x₁＜x₂＜0,则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(),
∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0 ∴＜0,
于是由②知f()>0,
从而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),
故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.
根据奇函数的图像关于原点对称，知
f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.