题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省期末题

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x₀，使得f(x₀+1)=f(x₀)+f(1)成立。
（Ⅰ）函数是否属于集合M？说明理由；
（Ⅱ）若函数f(x)=kx+b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；
（Ⅲ）设函数属于集合M，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ），
若，则存在非零实数x₀，使得，即，
此方程无实数解，所以函数。
（Ⅱ）D=R，由，存在实数x₀，
使得，解得b=0，
所以，实数k和b的取值范围是k∈R，b=0。
（Ⅲ）依题意a＞0，D=R。
由得，存在实数x₀，
，即，
又a＞0，化简得，
当a=2时，，符合题意；
当a＞0且a≠2时，由△≥0得，
化简得，解得，
综上，实数a的取值范围是。