题目

题型：解答题难度：一般来源：0112 同步题

已知f(x)的定义域为（0，+∞），且满足f(4)=1，对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)，当x∈（0，1）时，f(x)＜0。
（1）求f(1)；
（2）证明f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3。

答案

解：（1）令，则；
（2）设，且，
则，
，
∴，
又当x∈（0，1）时，f(x)＜0，
∴，
∴在上是增函数。
（3）令，则，
令，则，
∴，
∴，
解得：。