题目

题型：解答题难度：困难来源：0104 模拟题

已知函数f(x)=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R），g(x)=ln²x+2a²+，
（Ⅰ）证明：当a＞0时，对于任意不相等两个正实数x₁、x₂，均有；
（Ⅱ）记，
（ⅰ）若y=h′(x)在[1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：h(x)≥。

答案

（Ⅰ）证明：，
，
，
则， ①
，
则，②
由①②知．
（Ⅱ）解：（ⅰ），
，
令，则y=F（x）在[1，+∞)上单调递增，
，
则当x≥1时，恒成立，
即当x≥1时，恒成立，
令，则当x≥1时，，
故在[1，+∞)上单调递减，
从而，故。
（ⅱ），
令，则，
令，则，
显然Q（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则，则，
故．