题目

题型：解答题难度：一般来源：0115 期中题

设 f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，
（1）求证：f（0）=1；
（2）证明：x∈R时恒有f（x）＞0。

答案

证明：（1）取m=0，n=，
则，
因为，
所以f（0）=1；
（2）设x＜0，则-x＞0，
由条件可知f（-x）＞0，
又因为，
所以f（x）＞0；
∴x∈R时，恒有f（x）＞0。