题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=1-2a^x-a^2x（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值和函数f（x） 的最大值．

答案

（1）令t=a^x，则t＞0，∴g（t）=1-2t-t²=-（t+1）²+2
∵t＞0，∴g（t）＜1，即函数f（x）的值域为（-∞，1）；
（2）∵x∈[-2，1]，0＜a＜1，∴t∈[a，

1

a2

]
∴g（t）=1-2t-t²在[a，

1

a2

]上是减函数
∴t=

1

a2

时，g（t）_min=-

1

a4

-

2

a2

+1=-7
∴a=

2

2

或a=-

2

2

（舍去）
∴t=a=

2

2

时，g（t）有最大值，即g（t）_max=

1

2

-

2

．