题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知A、B、C为△ABC的三个内角，设f（A，B）=sin²2A+cos²2B-

3

sin2A-cos2B+2．
（1）当f（A，B）取得最小值时，求C的大小；
（2）当C=

π

2

时，记h（A）=f（A，B），试求h（A）的表达式及定义域；
（3）在（2）的条件下，是否存在向量

p

，使得函数h（A）的图象按向量

p

平移后得到函数g（A）=2cos2A的图象？若存在，求出向量

p

的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）配方得f （A，B）=（sin2A-

3

2

）²+（cos2B-

1

2

）²+1，
∴[f （A，B）]_min=1，当且仅当

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

时取得最小值．
在△ABC中，

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

⇔

A= π 6 B= π 6

 或

A= π 3 B= π 6

故C=

2π

3

或

π

2

．…（6分）
（2）C=

π

2

⇔A+B=

π

2

，
于是h（A）=f(A，B)=sin22A+cos22B-

3

sin2A-cos2B+2
=sin22A+cos22[

π

2

-A]-

3

sin2A-cos2[

π

2

-A]+2
=cos2A-

3

sin2A+3
=2cos（2A+

π

3

）+3．
∵A+B=

π

2

，∴0＜A＜

π

2

．…（11分）
（3）∵函数h（A）在区间(0，  

π

3

]上是减函数，在区间[

π

3

，  

π

2

)上是增函数；而函数g（A）=2cos2A在区间(0，  

π

2

)上是减函数．
∴函数h（A）的图象与函数g（A）=2cos2A的图象不相同，从而不存在满足条件的向量

p

…（16分）