题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知，f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
（1）求f（x）的定义域     
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；   
（3）证明f（x）＞0．

答案

（1）由2^x-1≠0得x≠0，
∴f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
（2）∵f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=

x

2

•

2x +1

2x-1

，
f（-x）=-

x

2

•

2-x +1

2-x-1

=

x

2

•

2x +1

2x-1

=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（3）证明：∵f（x）=

x

2

•

2x +1

2x-1

，
当x＞0，2^x＞2⁰，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，
∴f（x）＞0；
同理当x＜0，则2^x-1＜0，又2^x+1＞0，
∴f（x）=

x

2

•

2x +1

2x-1

＞0；
∴f（x）＞0．
又x≠0．综上所述，f（x）＞0．