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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=loga
x-2
x+2
(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;  
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)是否存在实数,使得f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+logan,1+logam]?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,则说明理由.
答案
(1)∵
x-2
x+2
>0
,∴(x+2)(x-2)>0,解得x>2,或x<-2.
∴函数f(x)的定义域是{x|x<-2,或x>2}.
(2)∵f(-x)=loga
-x-2
-x+2
=loga
x+2
x-2
=-loga
x-2
x+2
=-f(x).
及由(1)可知:函数f(x)的定义域关于原点对称.
∴函数f(x)是奇函数.
(3)假设存在这样的实数a,则由m<n,logam及loga
m-2
m+2
由意义,
可知2<m<n.
由∵1+logan<1+logam,∴logan<logam,
∴0<a<1.
令t=
x-2
x+2
,则t=1-
4
x+2
在区间[m,n](m>2)上单调递增,
∴函数f(x)=loga
x-2
x+2
在区间[m,n]上单调递减.





f(m)=loga
m-2
m+2
=1+logam
f(n)=loga
n-2
n+2
=1+logan

∴m,n是方程loga
x-2
x+2
=1+logax
的两个大于2的根.方程可化为
x-2
x+2
=ax
,即ax2+(2a-1)x+2=0.
上述问题⇔关于x的方程ax2+(2a-1)x+2=0在(2,+∞)上有两个不相等的实数解.
令g(x)=ax2+(2a-1)x+2,
则有





△=(2a-1)2-8a>0
g(2)=8a>0
-
2a-1
2a
>2
,解得





a>
3+2


2
2
或a<
3-2


2
2
a>0
0<a<
1
6


解得0<a<
3-2


2
2

又0<a<1,
0<a<
3-2


2
2

故存在这样的实数a,且a的取值范围为(0,
3-2


2
2
)
核心考点
试题【已知函数f(x)=logax-2x+2(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;  (2)讨论f(x)的奇偶性;(3)是否存在实数,使得f(x)的定义域为】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=logx-2(5-x)的定义域为(  )
A.(-∞,5)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5]D.(2,3)∪(3,5)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=lg(ax2-ax+
1
a
)
值域为R,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=2x+3的值域是{-1,2,5},则其定义域为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
下列函数中,与函数y=
1
3x

定义域相同的函数为(  )
A.y=
1
sinx
B.y=
lnx
x
C.y=xexD.y=
sinx
x
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


-x2+2x+3
的值域为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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