题目

题型：单选题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为R．若存在常数c＞0，对∀x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x） 具有性质P．给定下列三个函数：①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x³-x其中，具有性质P的函数的序号是（　　）

A．①

B．③

C．①②

D．②③

答案

①因为f（x）=|x|不是R上的增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有具有性质P．
 ②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有性质P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，f′（x）＜0时，函数f（x）是递减函数．
即在（-

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，

3

3

）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞

3

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 就可以了，不妨取c=1，．
所以，存在常数c=1，满足f（x+c）＞f（x-c）．故此函数f（x）具有性质P．
故选B