题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=(log2x)2-2log

1

2

x+1，g(x)=x2-ax+1
（1）求函数y=f(cos(x-

π

3

))的定义域；
（2）若存在a∈R，对任意x1∈[

1

8

，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求实数a的取值范围．

答案

（1）由cos(x-

π

3

)＞0，解得2kπ-

π

2

＜x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，解得2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
所以函数的定义域为：{x|2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

5π

6

(k∈Z)}；
（2）首先，f(x)=(log2x)2+2log2x+1=(1+log2x)2，
∵x∈[

1

8

，2]，∴-3≤log₂x≤1，∴函数f（x）的值域为[0，4]，
其次，由题意知：[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀）．以下分三种情况讨论：
①当

a

2

≤-1时，则

g(-1)=a+2≤0 g(2)=5-2a≥4

，解得a≤-2；
②当

a

2

≥2时，则

g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a≤0

，解得a≥4；
③当-1＜

a

2

＜2时，则

△＞0 g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a＜0

或

△＞0 g(-1)=a+2＜0 g(2)=5-2a≥4

，解得

5

2

＜a＜4；
综上：a≤-2或a＞

5

2

．